Question

【题目】已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求证：函数只有一个零点，且；

（3）用表示，的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明（3）

【解析】

(1)利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程为.（2）先计算得，所以存在零点，且.再证明在上是减函数，即得证函数只有一个零点，且.(3)由题得，

在为增函数在，恒成立，即在区间上恒成立. 设，只需证明，再利导数求得的最小值，.

（1）∵，

∴切线的斜率，.

∴函数在点处的切线方程为.

（2）证明：∵，，

∴，，，

∴存在零点，且.

∵，

∴当时，；

当时，由得

.

∴在上是减函数.

∴若，，，则.

∴函数只有一个零点，且.

（3）解：，故，

∵函数只有一个零点，

∴，即.

∴.

∴在为增函数在，恒成立.

当时，即在区间上恒成立.

设，只需，

，在单调减，在单调增.

的最小值，.

当时，，由上述得，则在恒成立.

综上述，实数的取值范围是.