Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2，E，F，G分别是AB，PB，CD的中点．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）求证：GF∥平面PAD；

（3）求点G到平面PAB的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）

【解析】

(1)由题知,证明AC⊥平面即可.

(2) 取PA中点H,连接FH,HD,再证明即可.

(3)利用转换法与等体积法VG﹣PAB＝VD﹣PAB＝VP﹣ABD计算即可.

（1）证明：如图,连接AC,BD,

因为PD⊥面ABCD,且AC平面ABCD,

所以AC⊥PD,

又因为四边形ABCD为菱形,

所以AC⊥BD,

又PD∩BD＝D,PD,BD平面PBD,

所以AC⊥平面PBD,

又PB平面PBD,

所以AC⊥PB；

（2）证明：如图取PA中点H,连接FH,HD,

因为F为PB中点,

所以HF∥AB,且HFAB,

又因为四边形ABCD为菱形,且G为CD中点,

所以DG∥AB,且DGAB,

所以HF∥DG,且HF＝DG,

所以四边形HDGF为平行四边形,

所以GF∥HD,

因为GF平面PAD,HD平面PAD,

所以GF∥平面PAD,

（3）解：设G到平面PAB的距离为h,

因为DC∥AB,DC平面PAB,AB平面PAB,

所以DC∥平面PAB,

所以VG﹣PAB＝VD﹣PAB＝VP﹣ABD,

所以,

所以h,

所以G到平面PAB的距离为．