Question

5．△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin（$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a+c=2，则△ABC的周长的取值范围是[3，4）．

Answer 1

分析 由B和范围和特殊角的三角函数值求出B，由题意和余弦定理化简后，由基本不等式求出ac的范围，得到b的范围，可求△ABC周长的范围．

解答 解：由0＜B＜π得，$\frac{π}{4}$＜$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，
∵sin（$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，
解得B=$\frac{π}{3}$，
又∵a+c=2，
∴由余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-ac=4-3ac，
∵a+c=2，a+c≥2$\sqrt{ac}$，当且仅当a=c时取等号，
∴0＜ac≤1，则-3≤-3ac＜0，
则1≤b²＜4，即1≤b＜2．
∴△ABC周长L=a+b+c=b+2∈[3，4）．
故答案为：[3，4）．

点评 本题考查了余弦定理，内角的范围和特殊角的三角函数值，以及基本不等式在求最值中的应用，考查化简、变形能力，属于中档题．