Question

已知函数
（Ⅰ）若试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）令若至少存在一个实数，使成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）单调递增区间是,单调递减区间是；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于零解得单调增区间，令导数小于零得单调减区间；（Ⅱ）令导数等于零得，然后对在处断开进行讨论，在上求出函数的最小值，令其大于零解得的范围；（Ⅲ）由于存在，使，则，令，则大于的最小值.
试题解析：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，    3分
由得，故的单调递减区间是．    4分
（Ⅱ） 由得．  5分                
①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．       6分
②当时，．当变化时的变化情况如下表：

	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在上，．     8分
依题意，，又，所以．
综合①，②得，实数的取值范围是．     9分
（Ⅲ）由于存在，使，则
令，则                              12分
当时，（仅当时取等号）
在上单调递增，因此．         14分