Question

已知f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，n=1，2，3，…．
求证：100+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）=100f（100）．

Answer 1

分析：为了证明100+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）=100f（100）．先用数学归纳法证明等式：（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（n））=（n+1）f（n+1）．故首先检验当n=1时，等式两边成立，再假设当n=k时，等式两边成立，写出此时的等式，准备后面要用，再检验当n=k+1时，等式成立，使用n=k时的条件，整理出结果，最后总结对于所有的自然数结论都成立．从而证得100+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）=100f（100）．

解答：证明：先用数学归纳法证明等式：（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（n））=（n+1）f（n+1）．
证（1）当n=1时，左边=2+f（1）=2+1=3，右边=2(f(2))=2(1+

1

2

)=3
∴左边=右边，∴等式成立．…（3分）
（2）假设n=k时，等式成立，即（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（k））=（k+1）f（k+1）
上式两边同时加1+f（k+1）得：（k+1）+1+f（1）+f（2）+…f（k）+f（k+1）=（k+1）f（k+1）+1+f（k+1）
∵（k+1）f（k+1）+1+f（k+1）=（k+2）f（k+1）+1，
∴（k+1）f（k+2）+f（k+1）+1-（k+2）f（k+2）=（k+2）[f（k+1）-f（k+2）]+1
=(k+2)(-

1

k+2

)+1=0．
∴（k+1）f（k+1）+1+f（k+1）=（k+2）f（k+2）
∴[（k+1）+1]+f（1）+f（2）+…+f（k）+f（k+1）=（k+2）f（k+2）
∴n=k+1时等式也成立．…（8分）
由（1）、（2）知，等式（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（n））=（n+1）f（n+1）
对一切n∈N^*都成立．
∴100+f（1）+f（2）+…+f（99）=100f（100）．…（10分）

点评：本题考查数学归纳法，在证明和自然数有关的等式或不等式时，一般应用数学归纳法，实际上这种问题证明是有一个固定的模式可以套用，这是注意在由n=k变化为n=k+1时，千万要用n=k的结论．