Question

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f(

1

2

)的值，试判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）一个各项均为正数的数列{a_n}，它的前n项和是S_n，若a₁=3，且对任意的正整数n，均满足f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法求值，再利用单调性的定义证明函数的单调性；
（2）先得出和与通项的关系，再写一式，两式相减，即可求得数列的通项．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=0；令x=2，y=

1

2

，得f(

1

2

)=-1（3分）
y=f（x）在（0，+∞）上单调递增．下面证明：
任取0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，∵当x＞1时，f（x）＞0，∴f(

x2

x1

)＞0
在已知式中令x=x1，y=

x2

x1

，得f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0，即证．（6分）
（2）当n≥2时，∵f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1
∴f（S_n）+1=f（a_n）+f（a_n+1），即f（2S_n）=f（a_n（a_n+1））（8分）
∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴2S_n=a_n（a_n+1）∴2S_n+1=a_n+1（a_n+1+1）
两式相减得：2an+1=

a

2 n+1

+an+1-

a

2 n

-an，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1（11分）
∴数列{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列
∴a_n=n+2．（12分）

点评：本题考查抽象函数的单调性，考查数列与函数的综合，考查单调性的证明，考查数列通项的求解，正确理解题意是关键．