Question

已知f(n)=log2(1+

1

n

)(n∈N+)，对正整数k，如果f（n）满足：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（k+1）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，129]内所有“好数”的和S=

240

．

Answer 1

分析：由题设知k=2ⁿ-2，再由2ⁿ-1≤129，解得1≤n≤7，故[1，129]内所有“好数”的和S=（2-2）+（2²-2）+（2³-2）+…+（2⁷-2），由此能求出结果．

解答：解：∵f(n)=log2(1+

1

n

)(n∈N+)，
∴f（1）=log₂2=1，
f（1）+f（2）+f（3）=log2(

2

1

×

3

2

×

4

3

)=log₂4=2，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）
=log2(

2

1

×

3

2

×

4

3

×

5

4

×

6

5

×

7

6

×

8

7

)=log₂8=3．
…
由题设知k=2ⁿ-2，
由2ⁿ-1≤129，解得1≤n≤7，
∴[1，129]内所有“好数”的和
S=（2-2）+（2²-2）+（2³-2）+…+（2⁷-2）
=

2(1-27)

1-2

-14=240．
故答案为：240．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题的关键是利用题设条件推导出[1，129]内所有“好数”的和S=（2-2）+（2²-2）+（2³-2）+…+（2⁷-2）．