Question

12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为$2+2\sqrt{2}$，记动点C的轨迹为曲线W．
（1）求W的方程；
（2）设过点B的直线l与曲线W交于M，N两点，如果$|{MN}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设点C的坐标是C（x，y），结合$|{CA}|+|{CB}|=2\sqrt{2}＞2$，从而可得轨迹是椭圆（除去与x轴的两个交点），从而求方程即可；
（2）易知直线l的斜率不为0，从而设直线l的方程为x=my+1，与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立化简得（m²+2）y²+2my-1=0，结合韦达定理求解即可．

解答 解：（1）设点C的坐标是C（x，y），
∵△ABC的周长为$2+2\sqrt{2}$，|AB|=2，
∴$|{CA}|+|{CB}|=2\sqrt{2}＞2$．
∴由椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为$2\sqrt{2}$的椭圆（除去与x轴的两个交点）．
∴$a=\sqrt{2}$．c=1，b²=a²-c²=1，
∴曲线W的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1（y≠0）$．
（2）易知直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x=my+1，
与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立化简得，
（m²+2）y²+2my-1=0，
由韦达定理得：${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+2}}，{y_1}{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+2}}$，
∴$|{MN}|=\sqrt{1+{m^2}}|{{y_2}-{y_1}}|=\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{{{（{y_2}-{y_1}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{{{（\frac{-2m}{{{m^2}+2}}）}^2}-4（\frac{-1}{{{m^2}+2}}）}=\frac{{2\sqrt{2}（{m^2}+1）}}{{{m^2}+2}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，
解得m=±1，
∴直线l的方程为x=±y+1，
即x+y-1=0或x-y-1=0．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，主要考查了学生的化简运算能力及转化能力．