Question

有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三处，且AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）．

（1）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？

（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力． （1）解：由题设可知，a>b>0，记，设P的坐标为(0，y)，则P至三镇距离的平方和为，所以，当时，函数f(y)取得最小值． 答：点P的坐标是． （2）解法一：P至三镇的最远距离为，由 解得，记，于是，当，即h³b时，在上是增函数，而|h-y|在上是减函数，由此可知当y=y*时，函数g(y)取得最小值，当，即h<b时，函数 在上，当y=0，取得最小值b，而|h-y|在上为减函数，且|h-y|>b，可见，当y=0时，函数g(y)取得最小值，答当h³b时，点P的坐标为；当h<b时，点P的坐标为(0，0)，其中 解法二：P至三镇的最远距离为 由解得，记，于是 当y*³0，即h³b时，z=g(y)的图像如图(a)，因此，当y=y*时，函数g(y)取得得小值． 当y<y*，即h<b时，z=g(y)的图像如图(b)，因此，当y=0时，函数g(y)取得得小值． 答：当h³b时，点P的坐标为；当h<b时，点P的坐标为(0，0)，其中． 解法三：因为在DABC中，AB=AC=a，所以DABC的外心 M在射线AO上，其中坐标为，且AM=BM=CM．当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，若（如图1），则点M在线段AO上，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C³MC，P2A³MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小． 若（如图2），则点M在线段AO外，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C³OC，P2A³OC，所以点P与BC边中心O重合时，P到三镇的最远距离最小为b． 答：当时，点P的位置在DABC的外心；当时，点P的位置在原点O．