Question

有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）。

（1）若希望点到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？
（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

Answer 1

解：（1）由题设条件a>b>0，设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为

=
所以，当时，函数取得最小值
答：点P的坐标是。
（2）记
P至三镇的最远距离为
由解得
记
于是
当，即时，
因为在[上是增函数，而在上是减函数
所以时，函数取得最小值
点P的坐标是
当，即时，因为在[上当y=0函数取得最小值b，
而在上是减函数，且，
所以时，函数取得最小值
答：当时，点P的坐标是
当时，点P的坐标是，其中。