Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若恒成立，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）减区间为，增区间为（2）

【解析】

（1）当时,,则,令,进而求得单调区间即可；

（2）转化问题为求在上恒成立时的取值范围,对求导,分类讨论即可得到的值

解：（1）当时,,

所以,

令,则,

所以当时,则；当,则,

所以是上的减函数,是上的增函数,

故函数的减区间为,增区间为

（2）解：由（1）知,

当时,对恒成立,所以是上的增函数,

注意到,所以时,,不合题意；

当时,令,则,所以当时,；

当时,,

所以在上单调递减,在上单调递增,

故只需,

设,则,

令,则,

当时,；当时,,

所以在上单调递增,在上单调,

故当且仅当时等号成立,

所以当且仅当时,成立,即为所求.