Question

（文）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上一点，满足

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|=2|

PF2

|．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ） 过点P作与实轴平行的直线，依次交两条渐近线于Q，R两点，当

PQ

•

PR

=2时，求双曲线的方程．

Answer 1

分析：（I）设PPF₁=m，PF₂=n（m＞n），由已知可得

m=2n m-n=2a m2+n2=4c2

，解方程可得a，c之间的关系，由e=

c

a

可求
（II）由（I）可得，b2=c2-a2=

1

4

a2，双曲线的方程x²-4y²=a²，渐进线方程为y=±

1

2

x，设P（x，y）则可得Q（2y，y），R（-2y，y），由

PQ

•

PR

=2可求a，b进而可求双曲线方程

解答：解：（I）设PPF₁=m，PF₂=n（m＞n）
∵

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|=2|

PF2

|．
∴

m=2n m-n=2a m2+n2=4c2

∴5a²=4c²
∴e=

c

a

=

5

2

（II）由（I）可得，b2=c2-a2=

1

4

a2
∴双曲线的方程x²-4y²=a²，渐进线方程为y=±

1

2

x
设P（x，y）则可得Q（2y，y），R（-2y，y）
∵

PQ

•

PR

=（2y-x，0）•（-2y-x，0）=x²-4y²=2
∴a²=2，b2=

1

2

∴双曲线方程为

x2

2

-2y2=1

点评：本题主要考查了利用双曲线的定义及性质求解双曲线的方程，向量的基本运算关系的应用是解答本题的关键之一