Question

14．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，求f（36）的值，并解不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）在f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）中，令x=y=1，能求出f（1）．
（2）由f（6）=1，知f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2=f（6）+f（6），故f（$\frac{x+3}{2}$）＜f（6），再由f（x）是（0，+∞）上的增函数，能求出不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2的解集．

解答 解：（1）令x=y=1，
则f（1）=f（1）-f（1），
即f（1）=0；
（2）∵f（6）=1，
∴f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2=f（6）+f（6），
∴f（3x+9）-f（6）＜f（6），
即：f（$\frac{x+3}{2}$）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+3}{2}＞0}\\{\frac{x+3}{2}＜6}\end{array}\right.$．解得-3＜x＜9．
故不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2的解集为（-3，9）．

点评 本题考查抽象函数的函数值的解法，考查不等式的解法．解题时要认真审题，注意抽象函数的性质的灵活运用．