题目内容
已知函数f（x）=a+
，f（-1）=-
（1）求f（x）定义域和a的值
（2）判断f（x）奇偶性并证明
（3）证明f（x）在定义域上为增函数．
| 2x-1 |
| 2x+1 |
| 1 |
| 3 |
（1）求f（x）定义域和a的值
（2）判断f（x）奇偶性并证明
（3）证明f（x）在定义域上为增函数．
考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）将f（-1）=-
代入函数表达式求出即可，（2）可以采用函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性，（3）求出函数的导数大于0，从而解决问题．
| 1 |
| 3 |
解答：
解：（1）f（x）的定义域为：R，
f（-1）=a+
=a-
=-
，
∴a=0，
（2）f（x）是偶函数，证明如下：
由（1）得：f（x）=
，
∴f（-x）=
=
=
=f（x），
定义域为R，关于原点对称，
∴函数f（x）是偶函数，
（3）证明：∵f′（x）=
=
＞0，
∴函数f（x）在定义域上为增函数．
f（-1）=a+
| 2-1-1 |
| 2-1+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴a=0，
（2）f（x）是偶函数，证明如下：
由（1）得：f（x）=
| 2x-1 |
| 2x+1 |
∴f（-x）=
| 2-x-1 |
| 2-x+1 |
| ||
|
| 2x-1 |
| 2x+1 |
定义域为R，关于原点对称，
∴函数f（x）是偶函数，
（3）证明：∵f′（x）=
| (2x-1)′(2x+1)-(2x+1)(2x-1)′ |
| (2x+1)2 |
=
| 2x+1ln2 |
| (2x+1)2 |
∴函数f（x）在定义域上为增函数．
点评：本题考查了函数的奇偶性的定义，考查导数的应用，函数的单调性，是一道基础题．
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