Question

用数学归纳法证明：对一个自然数n，都有2ⁿ＞n²-2.

Answer 1

证明：(1)n=1,2,3时命题正确.

（2）n≥3时，假设n=k(k∈N且k≥3)命题正确，即2^k＞k²-2,当n=k+1时就是证2^k+1＞(k+1)²-2成立.

欲证2^k+1＞(k+1)²-2,

即证2^k＞［(k+1)²-2］，

即证2^k＞(k²+2k-1)，因为2^k＞k²-2，

只要证k²-2≥(k²+2k-1)，

即证k²-2k-3≥0，即(k+1)(k-3)≥0，

从而知对于一切不小于3的自然数k上式成立，即原命题在n≥3(n∈N)时也成立.

由（1）、（2）知结论成立.