Question

已知b_n=（1+1）（1+

1

2

）（1+

1

22

）…（1+

1

2n

），c_n=6（1-

1

2n

）．用数学归纳法证明：对任意n∈N^*，b_n≤c_n．

Answer 1

分析：先证明n=1时，结论成立，再证明当n=k+1时，结论成立，此时要利用归纳假设．

解答：证明：（1）当n=1时，b₁=（1+1）（1+

1

2

）=3，c₁=6（1-

1

2

）=3，所以b₁≤c₁成立．
（2）设当n=k时，有b_k≤c_k成立，即(1+1)(1+

1

2

)(1+

1

22

)…(1+

1

2k

)≤6(1-

1

2k

)
当n=k+1时，(1+1)(1+

1

2

)(1+

1

22

)…(1+

1

2k

)(1+

1

2k+1

)≤6(1-

1

2k

)(1+

1

2k+1

)
=6(1+

1

2k+1

-

1

2k

-

1

22k+1

)=6(1-

1

2k+1

-

1

22k+1

)＜6(1-

1

2k+1

)
即当n=k+1时，不等式也成立，
综合（1）（2）可知原不等式成立．

点评：本题考查数学归纳法的运用，考查不等式的证明，正确运用数学归纳法的证题步骤是关键．