Question

已知a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f(x)=lg

1+ax

1+2x

是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式及b的取值范围；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（1）f(x)=lg

1+ax

1+2x

，x∈（-b，b）是奇函数，
等价于对于任意-b＜x＜b都有

f(-x)=-f(x)    (1) 1+ax 1+2x ＞0          (2)

成立，（1）
式即为 lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

=lg

1+2x

1+ax

．
∴

1-ax

1-2x

=

1+2x

1+ax

，即a²x²=4x²，
此式对于任意x∈（-b，b）都成立等价于a²=4，
因为a≠2，所以a=-2，所以f(x)=lg

1-2x

1+2x

；
代入（2）式得：

1-2x

1+2x

＞0，
即-

1

2

＜x＜

1

2

对于任意x∈（-b，b）都成立，
相当于-

1

2

≤-b＜b≤

1

2

，从而b的取值范围为(0，

1

2

]；
（2）对于任意x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，由b∈(0，

1

2

]，
得-

1

2

≤-b＜b≤

1

2

，所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂，
从而f（x₂）-f（x₁）=lg

1-2x2

1+2x2

-lg

1-2x1

1+2x1

=lg

(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x2)(1-2x1)

＜lg1=0，
因此f（x）在（-b，b）是减函数；