题目内容
（Ⅰ）已知a，b∈R且a＞0，b＞0，求证：
+
≥a+b；
（Ⅱ）求函数y=
+
（0＜x＜1）的最小值．
| a2 |
| b |
| b2 |
| a |
（Ⅱ）求函数y=
| (1-x)2 |
| x |
| x2 |
| 1-x |
分析：（Ⅰ）【证法1】：作差比较法，作差再进行因式分解，与0比较即可得到结论；
【证法2】：综合法，利用基本不等式进行专门；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论函数y=
+
≥（1-x）+x=1，即可求得函数y=
+
(0＜x＜1)的最小值．
【证法2】：综合法，利用基本不等式进行专门；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论函数y=
| (1-x)2 |
| x |
| x2 |
| 1-x |
| (1-x)2 |
| x |
| x2 |
| 1-x |
解答：（Ⅰ）【证法1】：∵
+
-(a+b)=
=
=
=
∵a＞0，b＞0，∴
≥0，当且仅当a=b时等号成立．
∴
+
≥a+b
【证法2】：∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(
+
)=a2+b2+
+
≥a2+b2+2ab=(a+b)2
∴
+
≥a+b，当且仅当a=b时等号成立．
（Ⅱ）解：∵0＜x＜1，∴1-x＞0，由（Ⅰ）的结论
函数y=
+
≥（1-x）+x=1，当且仅当1-x=x即x=
时等号成立，
∴函数y=
+
(0＜x＜1)的最小值为1．
| a2 |
| b |
| b2 |
| a |
| a3+b3-a2b-ab2 |
| ab |
| a3-a2b-(ab2-b3) |
| ab |
| a2(a-b)-b2(a-b) |
| ab |
| (a-b)2(a+b) |
| ab |
∵a＞0，b＞0，∴
| (a-b)2(a+b) |
| ab |
∴
| a2 |
| b |
| b2 |
| a |
【证法2】：∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(
| a2 |
| b |
| b2 |
| a |
| a3 |
| b |
| b3 |
| a |
∴
| a2 |
| b |
| b2 |
| a |
（Ⅱ）解：∵0＜x＜1，∴1-x＞0，由（Ⅰ）的结论
函数y=
| (1-x)2 |
| x |
| x2 |
| 1-x |
| 1 |
| 2 |
∴函数y=
| (1-x)2 |
| x |
| x2 |
| 1-x |
点评：本题考查不等式的证明，考查利用基本不等式求函数的最值，解题式掌握不等式的证明方法是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中恒成立的是（ ）
| A、a2＞b2 | ||||
B、（
| ||||
| C、lg（a-b）＞0 | ||||
D、
|