Question

（本小题满分14分）
已知函数，，记。
（Ⅰ）判断的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）对任意，都存在，使得，.若，求实数的值；
（Ⅲ）若对于一切恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）奇函数(2) (3)

试题分析：解：（Ⅰ）函数为奇函数………………………………………………2分
现证明如下：
∵函数的定义域为，关于原点对称。……………………………………3分
由…………………5分
∴函数为奇函数…………………………………………………6分
（Ⅱ）据题意知，当时，，…………7分
∵在区间上单调递增，
∴，即………………………………………8分
又∵
∴函数的对称轴为
∴函数在区间上单调递减
∴，即………………………………………9分
由，
得，∴………………………………………………………………10分
（Ⅲ）当时，
即，
，…………………………………………………12分
令，
下面求函数的最大值。
，
∴……………………………………………………………………13分
故的取值范围是………………………………………………………14分
点评：解决该试题的关键是能熟练的运用指数函数和二次函数的性质得到最值，以及根据奇偶性的定义准确的证明，同时对于不等式的恒成立问题，能分离参数法来得到其取值范围。属于中档题。