Question

(2013·杭州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan．

(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．

(2)设数列的前n项和为Tn，证明：n∈N*且n≥3时，Tn＞．

(3)设数列{cn}满足an(cn－3n)＝(－1)n－1λn(λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有cn＋1＞cn．

 

Answer 1

（1）an＝(n∈N*)

（2）见解析

（3）存在整数λ＝－1，使得对任意n∈N*有cn＋1＞cn．

【解析】(1)在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝，

当n≥2时，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，

所以an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，

所以2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1．

因为bn＝2nan，所以bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1．

又b1＝2a1＝1，所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．

于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，

所以an＝(n∈N*)．

(2)由(1)得cn＝an＝(n＋1)n，

所以Tn＝2×＋3×2＋4×3＋…＋(n＋1)n，①

Tn＝2×2＋3×3＋4×4＋…＋(n＋1)n＋1．②

由①－②得Tn＝1＋2＋3＋…＋n－(n＋1)n＋1

＝1＋－(n＋1)n＋1

＝－，

所以Tn＝3－，

Tn－＝3－－

＝，

于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小，

由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；…

可猜想当n≥3时，2n＞2n＋1，证明如下：

方法一：①当n＝3时，对上式验算显示成立．

②假设当n＝k时成立，则n＝k＋1(k≥2)时，

2k＋1＝2·2k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，

所以当n＝k＋1时猜想也成立．

综合①②可知，对一切n≥3的正整数，都有2n＞2n＋1．

方法二：当n≥3时，

2n＝(1＋1)n＝＋＋＋…＋＋≥＋＋＋＝2n＋2＞2n＋1，

综上所述，当n≥3时，Tn＞．

(3)因为cn＝3n＋＝3n＋(－1)n－1λ·2n，

所以cn＋1－cn＝[3n＋1＋(－1)nλ·2n＋1]－[3n＋(－1)n－1λ·2n]

＝2·3n－3λ(－1)n－1·2n＞0，

所以(－1)n－1·λ＜n－1．①

当n＝2k－1(k＝1,2,3，…)时，①式即为λ＜2k－2，②

依题意，②式对k＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1，

当n＝2k，k＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－2k－1，③

依题意，③式对k＝1,2,3，…都成立，

所以λ＞－，所以－＜λ＜1，又λ≠0，

所以存在整数λ＝－1，使得对任意n∈N*有cn＋1＞cn．