Question

椭圆的两个焦点F₁、F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，且|PF₁|=．
（I）求椭圆C的方程．
（II）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知．由PF₁⊥F₁F₂，知，，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-，由，得A，=，由此知存在三个内接等腰直角三角形．
解答：解：（Ⅰ）∵∴
又PF₁⊥F₁F₂，∴，，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4则c=，∴a=2，b²=1
∴所求椭圆方程为．（6分）
（Ⅱ）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），
由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，
故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-，
由，得A，
∴=，（9分）
用-代替上式中的k，得|BC|=，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²
∵k＜0，∴解得：k=-1或k=，故存在三个内接等腰直角三角形．（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意椭圆性质的灵活运用，合理地进行等价转化．