题目内容
已知椭圆的两个焦点F1(-| 3 |
| 3 |
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使
| PE |
| QE |
分析：（I） 由题意得到 c=
，tan30°=
=
，可得b、a值，即得椭圆的方程．
（Ⅱ）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆的方程化简，得到根与系数的关系，代入
•
的解析式化简得
恒为定值，故有
= 4，从而解出m值．
| 3 |
| ||
| 3 |
| b |
| c |
（Ⅱ）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆的方程化简，得到根与系数的关系，代入
| PE |
| QE |
| (4m2-8m+1)k2+(m2-4) |
| 1+4k2 |
| 4m2-8m+1 |
| m2-4 |
解答：解：（I）由题意可得 c=
，tan30°=
=
，∴b=1，∴a=2，
故椭圆的方程为
+
=1．
（Ⅱ） 设直线l的方程为 y-0=k（x-1），即 y=kx-k．
代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0，
∴x1+x2=
，x1•x2=
．
∵
•
=（m-x1，-y1 ）•（m-x2，-y2）=（m-x1）（m-x2）+y1y2
=（m2+k2）+（1+k2）x1•x2-（m+k2）（x1+x2）
=（m2+k2）+（1+k2）
-（m+k2）（
）
=
恒为定值，
∴
= 4，
∴m=
．
| 3 |
| ||
| 3 |
| b |
| c |
故椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 1 |
（Ⅱ） 设直线l的方程为 y-0=k（x-1），即 y=kx-k．
代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0，
∴x1+x2=
| 8k2 |
| 1+4k2 |
| 4k2- 4 |
| 1+4k2 |
∵
| PE |
| QE |
=（m2+k2）+（1+k2）x1•x2-（m+k2）（x1+x2）
=（m2+k2）+（1+k2）
| 4k2- 4 |
| 1+4k2 |
| 8k2 |
| 1+4k2 |
=
| (4m2-8m+1)k2+(m2-4) |
| 1+4k2 |
∴
| 4m2-8m+1 |
| m2-4 |
∴m=
| 17 |
| 8 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，一元二次方程根与系数的关系，由
恒为定值，得到
= 4，是解题的关键和难点．
| (4m2-8m+1)k2+(m2-4) |
| 1+4k2 |
| 4m2-8m+1 |
| m2-4 |
练习册系列答案
相关题目
定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆
的两个焦点，点O为坐标原点，圆O是以F1，F2为直径的圆，一条直线与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A，B．
，求直线l的方程；
，求三角形OAB面积的取值范围．
的两个焦点，点O为坐标原点，圆O是以F1，F2为直径的圆，一条直线与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A，B．
，求直线l的方程；
，求三角形OAB面积的取值范围．
．
，判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；
和
分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆Mλ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）
．
，判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；
和
分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆Mλ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）