Question

（2012•江西模拟）已知椭圆的两个焦点F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，过F₁且与坐标轴不平行的直线l₁与椭圆相交于M，N两点，△MNF₂的周长等于8．若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，x轴上存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值，则E的坐标为（　　）

• A．(

  13

  6

  ，0)
• B．(

  15

  4

  ，0)
• C．(

  17

  8

  ，0)
• D．(

  12

  5

  ，0)

Answer 1

分析：先确定椭圆的方程，再取两个特殊位置，求出

PE

•

QE

，利用x轴上存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值，即可求得E的坐标．

解答：解：由题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则c=

3

，4a=8
∴a=2，b=

a2-c2

=1
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1
取直线l⊥x轴，则可得P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

），所以

PE

•

QE

=（m-1，-

3

2

）（m-1，

3

2

）=（m-1）²-

3

4

取直线l为x轴，则可得P（-2，0），Q（2，0），所以

PE

•

QE

=（m+2，0）•（m-2，0）=m²-4
由题意可得，（m-1）²-

3

4

=m²-4，∴m=

17

8

∴E的坐标为(

17

8

，0)
故选C．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．