Question

已知点M（2

3

，1）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，椭圆的两个焦点F₁（-2

3

，0）和F₂（2

3

，0），斜率为-1的直线l与椭圆C相交于不同的P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B的坐标为（0，2），是否存在直线l，使△BPQ为以PQ为底边的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由半焦距c=2

3

，点M（2

3

，1）在椭圆C上，可得|MF₂|，|MF₁|；由|MF₁|+|MF₂|=2a，可得a的值，从而得椭圆C的方程．
（Ⅱ）设PQ的中点为R，直线l的方程为y=-x+m；由

x2 16 + y2 4 =1 y=-x+m

，得5x²-8mx+4m²-16=0（*）；要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点，则有△＞0，可得|m|＜2

5

 ①，由（*）和中点坐标知x_R，y_R；且|BP|=|BQ|，得BR⊥PQ，即得k_RQ的值；从而解得m的值，得满足条件的直线l．

解答：解：（Ⅰ）依题意知，半焦距c=2

3

，由点M（2

3

，1）在椭圆C上，得|MF₂|=1，|MF₁|=7；∴2a=|MF₁|+|MF₂|=8；∴a=4，∴b²=a²-c²=4；所以，椭圆C的方程为：

x2

16

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）设PQ的中点为R，直线l的方程为y=-x+m；
由

x2 16 + y2 4 =1 y=-x+m

，得5x²-8mx+4m²-16=0（*）；
要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点，则有△＞0；
∴△=（-8m）²-4×5（4m²-16）=16（-m²+20）＞0，
化简，得|m|＜2

5

．  ①
由（*）知：x_R=

x1+x2

2

=

4

5

m，y_R=-x_R+m=

1

5

m．
且|BP|=|BQ|，所以BR⊥PQ，即k_RQ•（-1）=-1；
所以

yR-2

xR-0

=

1 5 m-2

4 5 m-0

=1，解得m=-

10

3

．
因为

10

3

＜2

5

，所以m=-

10

3

适合①． 
所以存在满足条件的直线l；y=-x-

10

3

．

点评：本题考查了直线与椭圆标准方程的综合应用问题，解题时要弄清题中所给的条件，灵活运用椭圆的定义，根与系数的关系式，以及中点坐标公式来进行求解．