Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=

1

3

．
（1）求sin2

B+C

2

+cos2A的值；
（2）若b=2，BC边上的中线AD=

3

2

求c．

Answer 1

分析：（1）先把sin2

B+C

2

+cos2A等价转化为

1

2

[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)，进一步简化为

1

2

(1+cosA)+(2cos2A-1)，由此能求出结果．
（2）

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，令|

AB

|=x，|

AD

|2=

1

4

(

AB

+

AC

)2⇒x2+

4

3

x+4=9⇒x=

5

3

或x=-3(舍去)，由此能求出结果．

解答：解：（1）sin2

B+C

2

+cos2A
=

1

2

[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)…（（2分）
=

1

2

(1+cosA)+(2cos2A-1)…（1分）
=

1

2

(1+

1

3

)+(

2

9

-1)=-

1

9

…（2分）
（2）

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，令|

AB

|=x，
|

AD

|2=

1

4

(

AB

+

AC

)2⇒x2+

4

3

x+4=9⇒x=

5

3

或x=-3(舍去)，
∴c=

5

3

…（5分）

点评：本题考查三角函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换．