Question

【题目】已知抛物线上一点到其焦点F的距离为5．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，若，求证：直线l必过一定点，并求出该定点的坐标；

（3）过点的直线m与抛物线C交于不同的两点M、N，若，求直线m的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）直线l过定点，证明见解析（3）

【解析】

（1）解法1：根据抛物线的定义列方程，求得p的值，写出抛物线方程；

解法2：将代入，再由点T到其焦点F的距离，

列出方程组求得p的值，再写出抛物线方程；

（2）可直线l的方程为，与抛物线方程联立，消去y，

利用根与系数的关系计算，从而证明直线l过定点；

（3）依题意设直线m的方程为，与抛物线方程联立，消去y，

利用根与系数的关系计算，由得k的取值范围．

解：（1）解法1：由题意，根据抛物线的定义，有，解得，

所以抛物线C的方程为；

解法2：将代入得，，

又点到其焦点F的距离为5，焦点坐标为，所以，

将代入整理得，解得，

故抛物线C的方程为；

（2）依题意，直线l的斜率存在，设l的方程为，

由得，

设，，则，，

所以

，

令，得，所以直线l过定点．

（3）依题意，直线m的斜率k存在且，设m的方程为，

由消去y，得，

由，即，解得或．

设，，则，，且，，

所以

，

因为，所以，解得；

所以，直线m的斜率的取值范围是．