Question

【题目】已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若， ，证明： 为定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设出动点坐标为，把斜率之积用坐标表示出来化简可得的方程（注意有些点不合要求）；

（Ⅱ）解析几何中的定值问题，设点的坐标分别为.由，可求得，并代入曲线的方程，得的方程，同理得的方程，这样发现是方程的两个实数根，由韦达定理可得．

试题解析：

（Ⅰ）设点，由已知得，

化简得点的轨迹的方程: .

（Ⅱ）设点的坐标分别为.

由，所以，

所以

因为点在曲线上，所以 ，

化简得 ①，

同理，由可得： ，

代入曲线的方程得 ②，

由①②得是方程的两个实数根(△>0)，

所以.