Question

【题目】对于函数f（x）= ，存在一个正数b，使得f（x）的定义域和值域相同，则非零实数a的值为（ ）
A.2
B.﹣2
C.﹣4
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由题意：函数f（x）= ，
若a＞0，由于ax2+bx≥0，即x（ax+b）≥0，
∴对于正数b，f（x）的定义域为：D=（﹣∞，﹣ ]∪[0，+∞），
但f（x）的值域A[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为 D=[0，﹣ ]．
由于此时函数 f（x）max=f（﹣ ）= = = ．
故函数的值域 A=[0， ]，
由题意，有： = ，
由于b＞0，
解得：a=﹣4．
故选C．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．