Question

17．如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G．
（Ⅰ）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；
（Ⅱ）连结FG，设α=45°，AB=4$\sqrt{2}$，AF=3，求FG长．

Answer 1

分析 （I）根据相似三角形的判定定理可得相似三角形．对△AMF∽△BGM给出以下证明分析：利用外角定理可得∠AMD=∠B+∠BDM，∠BGM=∠DMG+∠BDM，又∠B=∠A=∠DME=α，进而证明．
（II）由（I）可得：△AMF∽△BGM，可得BG，由已知可得△ABC为等腰直角三角形，可得AC=BC=4，进而得出CF，CG，再利用勾股定理即可得出FG．

解答 解：（I）根据相似三角形的判定定理可得：△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM．
对△AMF∽△BGM给出以下证明：
∵∠AMD=∠B+∠BDM，∠BGM=∠DMG+∠BDM，又∠B=∠A=∠DME=α，
∴∠AMF=∠BGM，∴△AMF∽△BGM．
（II）由（I）可得：△AMF∽△BGM，∴$\frac{BG}{AM}=\frac{BM}{AF}$，∴$BG=\frac{8}{3}$，
∵∠α=45°=∠A=∠B，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵AB=$4\sqrt{2}$，∴AC=BC=4，
∴CF=AC-AF=1，
CG=4-$\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$，
∴FG=$\sqrt{C{F}^{2}+C{G}^{2}}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定定理与性质定理、外角性质定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．