Question

已知函数，且）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，方程有惟一解时，求的值。

Answer 1

(1) 当是偶数时, 在上是增函数；当是奇数时在是减函数,在是增函数；(2).

【解析】

试题分析：(1)求单调区间，弦确定定义域，利用求导得：，再按k是偶数时，和k是奇数时，进行分情况，分别求得导函数大于零和小于零，进而求得单调区间；(2)当时，方程有唯一解，令，利用求导进一步得，在单调递减，在单调递增，所以要满足题意，只需使有唯一解，只需使，进而求得的值.

试题解析：(1)由已知得，且．

当是偶数时,则,则在上是增函数; （2分）

当是奇数时,则,, （3分）

所以当x时,, 当x时,，

故当是偶数时, 在上是增函数;

当是奇数时在是减函数,在是增函数． （5分）

（Ⅱ）若，则）

记, ,

若方程有唯一解，即有唯一解； （6分）

令,得，

（舍去） （7分）

当时，,在是单调递减函数；

当时，,在上是单调递增函数。

当时, , （8分）

有唯一解，

则，即 （9分）

（10分）

设函数，

∵在时,是增函数，至多有一解。

, ∴方程(*)的解为，即，解得。 （12分）

考点：1.利用导函数求函数的单调性；2.分类讨论思想；3.零点的个数问题.