Question

求函数f（x）=x+

4

x

分别在下列区间上的值域：
（1）x∈（0，3]；
（2）x∈（1，5]；
（3）x∈[3，5]；
（4）x∈[-2，-1]；
（5）x∈[1，a]（a＞1）．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：本题可以通过求出原函数的导函数，得到单调区间，再利用单调区间得到函数的极值，由函数极值和端点值，得到函数的值域，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）=x+

4

x

，
∴x≠0，
f′(x)=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

∴函数f（x）=x+

4

x

在区间（-∞，-2]上单调递增，
在区间（-2，0）上单调递减，
在区间（0，2]上单调递减，
在区间[2，+∞）上单调递增．
（1）当x∈（0，3]时，
函数f（x）=x+

4

x

在区间（0，2]上单调递减，在区间[2，3]上单调递增．
f（2）=4，f（3）=3+

4

3

，
∴函数f（x）=x+

4

x

分别在区间（0，3]上的值域为[4，+∞）．
（2）当x∈（0，5]时，
函数f（x）=x+

4

x

在区间（0，2]上单调递减，在区间[2，5]上单调递增．
f（2）=4，f（5）=5+

4

5

，
∴函数f（x）=x+

4

x

分别在区间（0，5]上的值域为[4，+∞）．
（3）当x∈[3，5]时，
函数f（x）=x+

4

x

在区间∈[3，5]上单调递增．
∴f（3）≤f（x）≤f（5）．
∵f（3）=3+

4

3

=

13

3

，f（5）=5+

4

5

=

29

5

，
∴函数f（x）=x+

4

x

分别在区间[3，5]上的值域为[

13

3

，

29

5

]．
（4）当x∈[-2，-1]时，
函数f（x）=x+

4

x

在区间∈[-2，-1]]上单调递减，
∴f（-1）≤f（x）≤f（-2）．
∵f（-2）=-4，f（-1）=-1-4=-5，
∴函数f（x）=x+

4

x

分别在区间[-2，-1]上的值域为[-5．-4]．
（5）当x∈[1，a]（a＞1）时，
①当1＜a＜2时，
函数f（x）=x+

4

x

在区间[1，a]上单调递减，
∴f（a）≤f（x）≤f（1），
即a+

4

a

≤f（x）≤5．
②当2≤a≤4时，
函数f（x）=x+

4

x

在区间[1，2]上单调递减，
在区间[2，a]上单调递增．在区间[2，4]上也单调递增．
∵f（1）=5，f（2）=4，f（a）≤f（4）=5，
∴4≤f（x）≤5．
③当a＞4时，
函数f（x）=x+

4

x

在区间[1，2]上单调递减，
在区间[2，a]上单调递增．
∵f（1）=5，f（2）=4，f（a）＞f（4），
∴4≤f（x）≤a+

4

a

．
综上，①当1＜a＜2时，f（x）的值域为：[a+

4

a

，5]；
②当2≤a≤4时，f（x）的值域为：[4，5]；
③当a＞4时，f（x）的值域为：[4，a+

4

a

]．

点评：本题考查了导函数与函数的单调性、函数的值域，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度适中，属于中档题．