Question

17．已知$\overrightarrow{a}$=（1，a），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cosx）．函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的图象经过点（-$\frac{π}{3}$，0）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意及平面向量数量积的运算可得sin（-$\frac{π}{3}$）+acos（-$\frac{π}{3}$）=0，进而来了利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及两角和的正弦函数公式化简可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），利用周期公式可求最小正周期由x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，2k$π+\frac{π}{2}$]，（k∈Z）即可解得函数f（x）的单调递增区间．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=sinx+acosx$的图象经过点（-$\frac{π}{3}$，0），
所以f（-$\frac{π}{3}$）=0．即sin（-$\frac{π}{3}$）+acos（-$\frac{π}{3}$）=0．
即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{a}{2}$=0．
解得a=$\sqrt{3}$．                               …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=2（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．                          …（6分）
所以函数f（x）的最小正周期为2π．                 …（8分）
因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ$-\frac{π}{2}$，2k$π+\frac{π}{2}$]，（k∈Z），
所以当x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，2k$π+\frac{π}{2}$]，（k∈Z）时，函数f（x）单调递增，
即2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z）时，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，（k∈Z）．  …（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，诱导公式，特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，周期公式，正弦函数的单调性等知识的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．