Question

2．在锐角△ABC中，已知BC=1，B=2A，则AC的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\sqrt{2}}）$
• B． $（{0，\sqrt{3}}）$
• C． $（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$
• D． $（{\sqrt{3}，2}）$

Answer 1

分析 根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简得到AC=2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角△ABC和B=2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可．

解答 解：∵△ABC是锐角三角形，C为锐角，
∴A+B≥$\frac{π}{2}$，由B=2A得到A+2A＞$\frac{π}{2}$，且2A=B＜$\frac{π}{2}$，
解得：$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，
∴$\sqrt{2}$＜2cosA＜$\sqrt{3}$，
根据正弦定理$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，B=2A，
得到$\frac{AC}{2sinAcosA}=\frac{1}{sinA}$，即AC=2cosA，
则AC的取值范围为（$\sqrt{2}$.$\sqrt{3}$）．
故选：C．

点评 此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2A变换角得到角的范围，属于中档题．