Question

（1）公差大于0的等差数列的前项和为，的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项，．

①求数列的通项公式；

②令，若对一切，都有，求的取值范围；

（2）是否存在各项都是正整数的无穷数列，使对一切都成立，若存在，请写出数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）①设等差数列的公差为．

∵∴    ∴

∵的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项

∴即，∴  

 解得：或

∵  ∴     ∴，                ………4分

②∵ ∴ ∴ ∴，整理得：

∵  ∴                                                   ………7分

（2）假设存在各项都是正整数的无穷数列，使对一切都成立，则

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∴，……，，将个不等式叠乘得：

∴（）                                     ………10分

若，则  ∴当时，，即

∵  ∴，令，所以

 与矛盾．                                                   ………13分

若，取为的整数部分，则当时，

∴当时，，即

∵  ∴，令，所以

 与矛盾．

∴假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列，使对一切都成立．                                                                    ………16分