已知ABCD为矩形.AB=3.BC=2.在矩形ABCD内随机取一点P.点P到矩形四个顶点的距离都大于1的概率为1-$\frac{π}{6}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

11．已知ABCD为矩形，AB=3，BC=2，在矩形ABCD内随机取一点P，点P到矩形四个顶点的距离都大于1的概率为1-$\frac{π}{6}$．

分析在矩形ABCD内随机取一点P，点P到点O的距离大于1的轨迹是以O为圆心，1为半径的$\frac{1}{4}$圆的外部，点P到矩形四个顶点的距离都大于1面积为3×2-4×$\frac{1}{4}$×π×1²=6-π，求出矩形面积即可得到结果．

解答解：在矩形ABCD内随机取一点P，点P到点O的距离大于1的轨迹是以O为圆心，1为半径的$\frac{1}{4}$圆的外部，故点P到矩形四个顶点的距离都大于1的面积为3×2-4×$\frac{1}{4}$×π×1²=6-π，
∵矩形ABCD的面积为3×2=6，
∴点P到矩形四个顶点的距离都大于1的概率为$\frac{6-π}{6}$=1-$\frac{π}{6}$．
故答案为：1-$\frac{π}{6}$．

点评此题考查了几何概型，熟练掌握几何概型公式是解本题的关键．

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1．近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X．
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X的数学期望和方差．
参考数据及公式如下：

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

2．已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x₀∈M，使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x）=g（x₀，则称f（x）与g（x）在区间M上是“相似函数”，若f（x）=2x²+ax+b与g（x）=x+$\frac{4}{x}$在[1，$\frac{5}{2}$]上是“相似函数”，则函数f（x）在区间[1，$\frac{5}{2}$]上的最大值为（　　）

四棱锥P-ABCD底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）若$\frac{PA}{AB}$=$\sqrt{3}$，设H为PD的四等分点（靠近点D），求EH与平面AEF所成角的正弦值．

6．设等比数列{a_n}，a₁=1，a₄=8，则S₁₀=1023．

16．记实数a，b中的最大数为max{a，b}，定义数列{a_n}：a_n=max{n²，2ⁿ}，则数列{a_n}的前10项和为（　　）

3．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=8$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{3π}{4}$），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数）．
（1）将曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C₂的参数方程化为普通方程；
（2）若P是曲线C₂上的动点，求P到直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$，（t为参数）的距离的最大值．

20．设数集A={-1，x₁，x₂，…x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，向量集B={$\overrightarrow{a}$|$\overrightarrow{a}$=（x，y），x∈A，y∈A}．若?$\overrightarrow{{a}_{1}}$∈B，?$\overrightarrow{{a}_{2}}$∈B使得$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$=0，则称A具有性质P．
（1）若a＞1，数集A={-1，1，a}，求证：数集A具有性质P；
（2）若b＞$\sqrt{2}$，数集A={-1，1，$\sqrt{2}$，b}具有性质P，求b的值；
（3）若数集A={-1，x₁，x₂，…x_n}（其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2）具有性质P，x₁=1，x₂=q（q为常数，q＞1），求数列{x_k}的通项公式x_k（k∈N^*，k≤n）．

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（45°，90°）

（45°，90°]

（45°，60°）