Question

1．近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X．
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X的数学期望和方差．
参考数据及公式如下：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k²的值，对应数表得答案；
（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评	80	40	120
对商品不满意	70	10	80
合计	150	50	200

得K²=$\frac{200×（80×10-40×70）^{2}}{150×50×120×80}$≈11.111＞10.828，
可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；
①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．
P（X=0）=0.6⁵；P（X=1）=C₅¹•0.4•0.6⁴；P（X=2）=C₅²•0.4²•0.6³；P（X=3）=C₅³•0.4³•0.6²；
P（X=4）=C₅⁴•0.4⁴•0.6；P（X=5）=0.4⁵，
②X的分布列

X	0	1	2	3	4	5
P	0.65	C51•0.4•0.64	C52•0.42•0.63	C53•0.43•0.62	C54•0.44•0.6	0.45

EX=5×0.4=2，DX=5×0.4×0.6=1.2．

点评 本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题．