Question

14．在数列{a_n}中，a₁=cosθ，a_n+1=a_nsinθ，其中0＜θ＜2π，θ≠$\frac{π}{2}$且θ≠$\frac{3π}{2}$．若$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则θ等于$\frac{7π}{6}$．

Answer 1

分析 由题意可得cosθ≠0，然后分θ=π和θ≠π讨论，当θ≠π时构成以cosθ为首项，以sinθ为公比的等比数列，由数列的极限等于-$\frac{\sqrt{3}}{3}$列式，再由辅助角公式化积后求得θ．

解答 解：∵0＜θ＜2π，θ≠$\frac{π}{2}$且θ≠$\frac{3π}{2}$，∴cosθ≠0，
若θ=π，则a₁=cosπ=-1，sinθ=0，a₂=a₃=…=a_n=0，不满足$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
若θ≠π，则sinθ≠0且sinθ≠±1，
∴数列{a_n}是以cosθ为首项，以sinθ为公比的等比数列，
则$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{cosθ}{1-sinθ}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即sinθ-$\sqrt{3}cosθ$=1．
∴2（$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）=1，即sin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜θ＜2π，∴-$\frac{π}{3}$＜θ-$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$．
则θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$或θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
即θ=$\frac{π}{2}$（舍）或θ=$\frac{7π}{6}$．
故答案为：$\frac{7π}{6}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列极限的求法，是中档题．