Question

6．设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）若A∩B=B，求m的取值范围；
（2）若A∩B≠∅，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若A∩B=B，则B⊆A，说明B是A的子集，需要注意集合B=∅的情形．
（2）考虑A∩B=∅，再求补集．

解答 解：（1）∵A∩B=B，
∴B⊆A，
B=∅，则m+1＞2m-1，即m＜2时，B⊆A；
B≠∅，则m+1≤2m-1，即m≥2时，∵B⊆A，∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1≥-2}\\{2m-1≤5}\end{array}\right.$，∴-3≤m≤3，∴2≤m≤3，
综上，m≤3；
（2）考虑A∩B=∅，
∵x∈R，且A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，
∴①若B=∅，即m+1＞2m-1，得m＜2时满足条件；
②若B≠∅，则m+1≤2m-1，即m≥2时，要满足的条件是m+1＞5或2m-1＜-2，解得m＞4．
综上，有m＜2或m＞4，
∴A∩B≠∅，m的取值范围是2≤m≤4．

点评 若B⊆A，需要注意集合B能否是空集，必要时要进行讨论．