Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*S_n=qa_n+1（q＞0，q≠1），m，k∈N^*，且m≠k
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）试比较S_m+k与的大小
（3）当q＞1时，试比较与的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=qa₁+1，由q≠1，知，由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）由，令，所以，由此能推导出．
（3）当，由m≠k，知t^2m≠t^2k，1-t^2m＜0，1-t^2k＜0，1-t^m+k＜0，由此入手能够推导出．
解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=qa₁+1，
∵q≠1，∴（1分）
（3分）
∴数列{a_n}是以首项为，公比为的等比数列，
∴．（4分）
（2）由（1）得（5分）
令，
∴（7分）

故（9分）
（3）当，
∵m≠k，∴t^2m≠t^2k，1-t^2m＜0，
1-t^2k＜0，1-t^m+k＜0
∴
=（11分）
∵
=（1-t^m+k）²
∴（13分）
∴
∴（14分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法和多项式比较大小，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养计算能力．