题目内容

已知数列{an}与{bn}满足关系，a1=2a，an+1=
1
2
（an+
a2
an
），bn=
an+a
an-a
（n∈N+，a＞0）
（l）求证：数列{log3bn}是等比数列；
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，Sn与(n+
4
3
)a是否有确定的大小关系？若有，请加以证明，若没有，请说明理由．
分析：（l）先利用已知条件求出{bn}的递推关系式，再代入所求log3bn，利用定义即可证明数列{log3bn}是等比数列；
（2）先由（l）求出{bn}的通项公式，进而求出数列{an}的通项公式，再对数列{an}的通项公式进行放缩后求和即可比较出，Sn与(n+
4
3
)a的大小关系．
解答：解：（l）因为bn+1=
an+1+ a
an+1-a
=
1
2
(an+
a2
an
)+a
1
2
(an+
a2
an
)-a 
=(
an+a
an-a
)2=bn2．
所以有
log3bn+1
log3bn
=
log3bn2
log3bn
=2，
又log3b1=log33=1．
故数列{log3bn}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）由（l）得log3bn=2n-1，所以bn=32n-1，
由bn=
an+a
an-a
?an=a+
2a
bn-1
=a+
2a
33n-1-1
．
当n≥2时，32n-1-1=(1+2)2n-1-1≥（1+2n-1•2+
C
2
2n-1
•22）-1=2n+
2n-1(2n-1-1) 
2
•22=2n+22n-1-2n=22n-1．
所以有
1
32n-1
≤
1
22n-1
，
故sn=(a+
2a
3-1
)+(a+
2a
32-1
 )+…+(a+ 
2a
32n-1-1
)=na+2a（
1
2
+
1
32-1
+…+
1
32n-1-1
）
≤na+2a（
1
2
+
1
23
+
1
25
+…+
1
22n-1
）=na+2a•
1
2
(1-(
1
4
)n)
1-
1
4
=na+
4
3
a（1-
1
4n
）＜na+
4
3
a．
即n≥2，Sn与(n+
4
3
)a有确定的大小关系，前小后大．
点评：本题主要考查数列的递推关系式的应用以及利用放缩法比较大小，是一道比较难的题目..
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知S100=41，T100=49，记Cn=anTn+bnSn-anbn（n∈N*），那么数列{Cn}的前100项和
100i=1
Ci=
 
．
已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（-2）n+1，bn=
3+(-1)n-1
2
，n∈N*，且a1=2．
（Ⅰ）求a2，a3的值
（Ⅱ）设cn=a2n+1-a2n-1，n∈N*，证明{cn}是等比数列
（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明
S1
a1
+
S2
a2
+…+
S2n-1
a2n-1
+
S2n
a2n
≤n-
1
3
（n∈N*）
已知数列{an}与{bn}满足：bnan+an+1+bn+1an+2=0，bn=
3+(-1)n
2
，n∈N*，且a1=2，a2=4．
（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；
（Ⅱ）设cn=a2n-1+a2n+1，n∈N*，证明：{cn}是等比数列；
（Ⅲ）设Sk=a2+a4+…+a2k，k∈N*，证明：
4n
k=1
Sk
ak
＜
7
6
(n∈N*)．
已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=
1
2
an，bn=
an+1
an-1
则数列{bn}的通项公式为
 
．
已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=
1
2
（an+
1
an
），bn=
an+1
an-1
．
（1）求数列{bn}的通项公式．
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，求证：Sn＜n+
4
3
．

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