Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，且点（n，S_n）在函数y=x²+2x上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知b_n=2n-1，T_n=

1

a1．b1

+

1

a2．b2

+…+

1

an．bn

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，Sn=n2+2n，由a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可求通项
（2）由

1

anbn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，考虑利用裂项求和即可求解

解答：解：（1）由题意可得，Sn=n2+2n
当n=1时，a₁=S₁=3
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1
而a₁=3适合上式
∴a_n=2n+1
（2）∵b_n=2n-1
∴

1

anbn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=

1

a1．b1

+

1

a2．b2

+…+

1

an．bn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1求解数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用．