题目内容

在数列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，且数列{a_n+1+a_n}是公比为2的等比数列，数列{a_n+1-a_n}是公比为-1的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当k为正奇数时， $数学公式$
（3）求证：当 $数学公式$ ．

（1）解：在数列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，
∵数列{a_n+1+a_n}是公比为2的等比数列，
∴a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•2^n-1=3•2ⁿ，①
∵数列{a_n+1-2a_n}是公比为-1的等比数列，
∴a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）（-1）^n-1=3（-1）ⁿ，②
①-②得3a_n=3•2ⁿ+3•（-1）^n-1，
∴a_n=2ⁿ+（-1）^n-1…（5分）
（2）证明：当k为正奇数时，
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴当k为正奇数时， $\text{[math]}$ …（8分）
（3）证明：当n∈N^*时，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
＜ $\text{[math]}$
=3× $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ＜1．
分析：（1）a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）（-1）^n-1=3（-1）ⁿ，a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•2^n-1=3•2ⁿ，由两式相减能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）当k为正奇数时， $\text{[math]}$ ，通分之后能够得到 $\text{[math]}$ ．
（3）把 $\text{[math]}$ 等价转化为 $\text{[math]}$ ，由（2）知 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，由此利用等比数列的求和公式能够证明：当 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．