题目内容

在数列{an}中,a,并且对任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{}的前n项和为Tn,证明:
【答案】分析:(Ⅰ)由an•an-1=an-1-an,得,由此推导出bn-bn-1=1,从而得到bn=n+2.
(Ⅱ)由==),利用错位相减法求出Tn=[-(+)],由此能够证明
解答:(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)∵数列{an}中,a,并且对任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,bn=(n∈N*),
∴当n=1时,=3;
当n≥2时,由an•an-1=an-1-an,得
∴bn-bn-1=1,
∴数列{bn}是首项为3,公差为1的等差数列,
∴bn=n+2.
(Ⅱ)∵==),
∴Tn=(1-+-+-+…+-+-
=[-(+)],
∴Tn是关于变量n的增函数,当n趋近无穷大时,的值趋近于0,
当n=1时,Tn取最小值,故有
点评:本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意迭代法和裂顶求和法的合理运用.
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