Question

7．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P-ABCD，其中底面四边形ABCD是边长为1的正方形，PA=1，且PA⊥平面ABCD，则球体毛坯体积的最小值应为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}π}}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． $\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}π}}{2}$

Answer 1

分析 当棱锥为球的内接四棱锥时，球体的体积最小，此时侧棱PC为球的直径．

解答 解：由题意可知当四棱锥的顶点都在球体毛坯的表面上时球体的体积最小．
过球心E作平面ABCD的垂线EO，则O为底面ABCD的中心．
∵PA⊥平面ABCD，∴OE∥PA，
∵O为AC的中点，∴E为PC的中点，
∵PA=AB=BC=1，∴AC=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{3}$．
∴球体的半径r=$\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴球体的体积V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}=\frac{\sqrt{3}π}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了棱锥与外接球的关系，属于中档题．