Question

(1)函数f(x)，，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)=f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．

(2)函数f(x)，，若对于任意实数、都有．求证f(x)为偶函数．

(3)设函数f(x)定义在上．证明f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．

Answer 1

答案：略
解析：

证明　(1)设a=0，则f(b)=f(0)＋f(b)f(0)=0． 又设a=－x，b=x，则f(0)=f(－x)＋f(x)， f(－x)=－f(x)，f(x)是奇函数． (2)令，，得f(x)＋f(－x)=2f(0)f(x)， 令，得f(x)＋f(x)=2f(0)f(x)． 由①②得f(－x)=f(x)． f(x)是偶函数． (3)由于对任意，也必有．可见，f(－x)的定义域也是． 若设F(x)=f(x)＋f(－x)，G(x)=f(x)－f(－x)． 则F(x)与G(x)的定义域也是，显然是关于原点对称的区间． 而且F(－x)=f(－x)＋f[－(－x)]=f(x)＋f(－x)=F(x) G(－x)=f(－x)－f[－(－x)]=f(－x)－f(x) 　　　=[f(x)－f(－x)]=－G(x)． 所以F(x)为偶函数，而G(x)为奇函数． 问题(1)、(2)采用了赋值法来寻找f(x)与f(－x)的关系，这是抽象函数问题中经常采用的方法，问题(3)实际是对性质(3)的证明．