Question

4．已知三个向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$两两所夹的角都为120°，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，求向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$与向量$\overrightarrow{a}$的夹角．

Answer 1

分析 计算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|，代入向量的夹角公式计算．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2×cos120°=-1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=1×3×cos120°=-$\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=2×3×$cos120°=-3．
∵$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=3．∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$．
（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{3}{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}×1}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$与向量$\overrightarrow{a}$的夹角为150°．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，属于中档题．