题目内容
【题目】设抛物线的顶点为A，焦点为F.过F作直线l与抛物线交于点P、Q，直线AP、AQ分别与抛物线的准线交于点M、N.问：直线l满足什么条件时，三直线PN、QM、AF恒交于一点？
【答案】见解析
【解析】
当直线
时，由抛物线的对称性可知，四边形PQMN是矩形，此时，三直线PN、QM、AF互相平行.
当直线l不与AF垂直时，建立如图的直角坐标系.
设抛物线的方程为
，
并设
、
.
由
，得
.
故
，
.
因为
，所以，
，
.
由
及
分别得
，
.
故
，
令y=0，则
故PN、QM与AF的交点分别为
、
.
于是，三直线PN、QM、AF交于一点
点S和T重合
.
化简得
将
，
代入上式得
即
.
因为，所以，上式成立.
此时，三直线PN、QM、AF恒交于一点.
综上所述，当直线l不与AF垂直时，三直线PN、QM、AF交于一点.
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