Question

10．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C₁：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{2}$，且点$P（0\;，\;\sqrt{3}）$在C₁上．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C₁切于A点，与抛物线C₂：x²=2y切于B点，求直线l的方程和线段AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{3}$，由a，b，c的关系可得b=1，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）依题意可知直线l存在斜率，设直线l：y=kx+m，代入椭圆方程和抛物线的方程，运用判别式为0，解得k，m，再由两点的距离公式可得AB的长．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a^2}-{b^2}=2\\ \frac{{{{（\sqrt{3}）}^2}}}{a^2}=1\end{array}\right.?a=\sqrt{3}，b=1$，
故椭圆C₁的方程为：$\frac{y^2}{3}+{x^2}=1$；
（Ⅱ）依题意可知直线l存在斜率，设直线l：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{3}+{x^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.⇒$（3+k²）x²+2kmx+m²-3=0①
∴直线l与椭圆C₁相切$?{△_1}={（2km）^2}-4（3+{k^2}）（m{\;}^2-3）=0?{m^2}={k^2}+3…$②，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=2y\\ y=kx+m\end{array}\right.⇒$x²-2kx-2m=0③
∴直线l与抛物线${C_2}：{x^2}=2y$相切$?{△_2}={（-2k）^2}+8m=0?{k^2}+2m=0$…④，
由②、④消去k得：m²+2m-3=0，解得m=-3或m=1，
由②知m²≥3，故m=1不合舍去，由m=-3得$k=±\sqrt{6}$，
∴直线l的方程为$y=±\sqrt{6}x-3$，
当直线l为$y=\sqrt{6}x-3$时，由①易得$A（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，-1）$，
由③易得$B（\sqrt{6}，3）$，此时|AB|=$\frac{{2\sqrt{42}}}{3}$；
当直线l为$y=-\sqrt{6}x-3$时，由图形的对称性可得|AB|=$\frac{{2\sqrt{42}}}{3}$．
综上得直线l的方程为$y=\sqrt{6}x-3$或$y=-\sqrt{6}x-3$，线段|AB|=$\frac{{2\sqrt{42}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线与椭圆相切、与抛物线相切的条件：判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．