题目内容

已知曲线 $数学公式$ 及点P（O，0），则过点P的曲线S的切线方程为________．

y=4x或 $\text{[math]}$
分析：设出切点坐标，求出函数的导数，通过切线的斜率相等，求出切点坐标，然后求出切线方程，
解答：设曲线 $\text{[math]}$ 与过点P（0，0）的切线相切于点A（x₀， $\text{[math]}$ ），
则切线的斜率 k=y′ $\text{[math]}$ =-2x₀²+2x₀+4，
∴切线方程为y-（ $\text{[math]}$ ）=（-2x₀²+2x₀+4）（x-x₀），
∵点P（0，0）在切线上，
∴ $\text{[math]}$ =2x₀³-2x₀²-4x₀，即 $\text{[math]}$ x₀³-x₀²=0，
解得x₀=0或x₀= $\text{[math]}$ ，所以切线的斜率为：4或 $\text{[math]}$
故所求的切线方程为：y=4x或 $\text{[math]}$ ．
故答案为：y=4x或 $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．

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；
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知D为点P的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O为原点，A、B分别为点P的轨迹曲线与x，y轴的正半轴的交点，求四边形OADB的最大面积及D点坐标．

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