题目内容
设椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且
，若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线l：
相切．过定点M（0，2）的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l1的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数λ满足
，求λ的取值范围．
【答案】分析：（I）因为
，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；
（II）由（I）知设l1的方程为y=kx+2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量
的坐标表示即可求得满足题意的点P且m的取值范围．
（Ⅲ）先分两种情况讨论：①当直线l1斜率存在时，设直线l1方程为y=kx+2，代入椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量
的坐标表示即可求得满足题意的λ的取值范围；②又当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=0，同样利用向量的坐标运算求λ的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）因为
，
所以F1为F2Q中点．
设Q的坐标为（-3c，0），
因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，
且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（-c，0），半径为2c．（2分）
因为该圆与直线l相切，所以
．
解得c=1，所以a=2，
．
故所求椭圆方程为
．（4分）
（Ⅱ）设l1的方程为y=kx+2（k＞0），
由
得（3+4k2）x2+16kx+4=0．
设G（x1，y1），H（x2，y2），则
．（5分）
所以
=（x1+x2-2m，y1+y2）．
=（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4）
．
由于菱形对角线互相垂直，则
．（6分）
所以（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0．
故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0．
因为k＞0，所以x2-x1≠0．
所以（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0
即（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0．
所以
解得
．即
．
因为k＞0，所以
．
故存在满足题意的点P且m的取值范围是
．（8分）
（Ⅲ）①当直线l1斜率存在时，
设直线l1方程为y=kx+2，代入椭圆方程
得（3+4k2）x2+16kx+4=0．
由△＞0，得
．（9分）
设G（x1，y1），H（x2，y2），
则
，
．
又
，所以（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2）．所以x1=λx2．（10分）
所以x1+x2=（1+λ）x2，x1x2=λx22．
所以
．将上式代入整理得：
．（11分）
因为
，所以
．即
．
所以
．
解得
．
又0＜λ＜1，所以
．（13分）
②又当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=0，
此时
，
，
，
，
，所以
．所以
，即所求λ的取值范围是
．（14分）
点评：当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II）由（I）知设l1的方程为y=kx+2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量
的坐标表示即可求得满足题意的点P且m的取值范围．（Ⅲ）先分两种情况讨论：①当直线l1斜率存在时，设直线l1方程为y=kx+2，代入椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量
的坐标表示即可求得满足题意的λ的取值范围；②又当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=0，同样利用向量的坐标运算求λ的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为
，所以F1为F2Q中点．
设Q的坐标为（-3c，0），
因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，
且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（-c，0），半径为2c．（2分）
因为该圆与直线l相切，所以
．解得c=1，所以a=2，
．故所求椭圆方程为
．（4分）（Ⅱ）设l1的方程为y=kx+2（k＞0），
由
得（3+4k2）x2+16kx+4=0．设G（x1，y1），H（x2，y2），则
．（5分）所以
=（x1+x2-2m，y1+y2）．=（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4）
．由于菱形对角线互相垂直，则
．（6分）所以（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0．
故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0．
因为k＞0，所以x2-x1≠0．
所以（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0
即（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0．
所以
解得
．即
．因为k＞0，所以
．故存在满足题意的点P且m的取值范围是
．（8分）（Ⅲ）①当直线l1斜率存在时，
设直线l1方程为y=kx+2，代入椭圆方程
得（3+4k2）x2+16kx+4=0．
由△＞0，得
．（9分）设G（x1，y1），H（x2，y2），
则
，
．又
，所以（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2）．所以x1=λx2．（10分）所以x1+x2=（1+λ）x2，x1x2=λx22．
所以
．将上式代入整理得：
．（11分）因为
，所以
．即
．所以
．解得
．又0＜λ＜1，所以
．（13分）②又当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=0，
此时
，
，
，
，
，所以
．所以
，即所求λ的取值范围是
．（14分）点评：当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
练习册系列答案
相关题目
（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，
，
，则C的离心率为( )
B．
C．
D．
（a>b>0）过点（0,4），离心率为
的直线被椭圆C所截线段的中点坐标。
（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为
，
的直线被C所截线段的中点坐标。
（a＞b＞0） 的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且
， 
相切，求椭圆C的方程： 
（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（
），且其右焦点到直线
的距离为3．
），求证：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；